SELAMAT DATANG DI BLOGNYA MBAH DEWA GAN...
Apa kabarnya hari ini??
Disini saya mbah dewa akan memberikan penjelasan tentang apa itu pengertian SISTEM BILANG REAL, pengertian di bawah ini saya ambil dari buku KALKULUS karya Purcell-Verberg. Selamat Menyimak Selamat Belajar :)
SISTEM BILANGAN REAL
Kalkulus
disasarkan pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Tetapi, apakah
bilangan real itu dan apa sifat-sifatnya? Untuk menjawabnya, kita mulai dengan
beberapa sistem bilangan yang lebih sederhana.
BILANGAN BULAT dan RASIONAL Diantara sistem bilangan, yang paling sederhana adalah bilangan-bilangan asli
1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
Dengan
bilangan ini kita dapat menghitung: jumlah buku-buku kita, teman-teman kita, da
uang kita. Jika kita gandengkan negatifnya dan nol, kita memperoleh bilangan-bilangan bulat:
..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Bilamana kita mencoba mengukur panjang, berat, atau tegangan
listrik, bilangan-bilangan bulat tidak memadai. Bilangan ini terlalu renggang
untuk memberikan ketelitian yang cukup. Kita dituntut juga untuk
mempertimbangkan hasil bagi (rasio) dari bilangan-bilangan bulat, yaitu
bilangan-bilangan seperti:
¾, -7/8, 21/5, 19/-2, 16/2, dan -17/1
Perhatikan bahwa kita menyertakan
16/2 dan -17/1 walaupun secara normal kita menuliskannya sebagai 8 dan -17,
karena sesuai dengan arti pembagian yang biasa keduannya sama saja. Kita tidak
menyertakan 5/0 atau -9/0, karena kedua bilangan ini tidak mungkin
didefinisikan. Marilah kita bersepakat untuk seterusya membuang pembagian
dengan nol dari buku ini. Bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk m/n dengan m dan n adalah
bilangan-bilangan bulat dengan n ≠
0,disebut bilangan-bilangan rasional.
Apakah
bilangan-bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang? Tidak. Fakta
mengejutkan ini ditemukan oleh orang Yunani kuno sebelum Masehi. Mereka
memperlihatkan bahwa meskipun √2 merupakan panjang sisi miring sebuah segitiga
siku-siku dengan sisi 1. Bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu
hasil bagi dari dua bilangan bulat. Jadi √2 adalah suatu bilangan irasional. Demikian juga √5, √7, Ï€, dan
sekelompok bilangan lain.
BILANGAN-BILANGAN REAL Tinjaulah himpunan semua bilangan (rasional dan irasional)
yang dapat mengukur panjang. Bersama-sama dengan negatifnya dan nol.
Bilangan-bilangan ini dinamakan bilangan-bilangan
real.
Bilangan-bilangan ini dapat
dipandang sebagai label untuk titik-titik sepanjang sebuah garis mendatar.
Disana bilangan-bilangan ini mengukur jarak ke kanan atau jarak ke kiri (jarak berarah) dari suatu titik tetap
yang disebut titik asal dan diberi
label 0. Walaupun kita tidak mungkin memperlihatkan semua label itu. Tiap titik
memang mempunyai sebuah label tunggal bilangan real. Bilangan ini disebut koordinat titik tersebut dan garis
koordinat yang dihasilkan dirujuk sebagai garis
real.
Terdapat lambang-lambang baku untuk
menganalisis kelas-kelas bilangan yang sejauh ini telah dibahas. Mulai
sekarang, N akan menyatakan himpunan bilangan asli (bilangan bulat positif), Z (dari bahasa Jerman, Zahlen) akan
menyatakan himpunan bilangan bulat Q (hasil bagi bilangan bulat) menyatakan
himpunan bilangan rasional, dan R himpunan bilangan real.
N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R
Di
sini, ⊆ adalah
lambang himpunan bagian, dibaca “adalah himpunan bagian dari”. Pernyataan A ⊆
B berarti bahwa setiap
elemen A juga merupakan elemen B.
Anda mungkin ingat bahwa sistem
bilangan itu masih dapat diperluas lebih jauh lag ke bilangan-bilangan kompleks. Ini adalah bilangan-bilangan yang
berbentuk a + bi, dengan a dan b adalah bilangan-bilangan real, dan i = √-1.
Bilangan-bilangan kompleks akan jarang digunakkan dalam buku ini. Sesungguhnya,
jika disebutkan suatu bilangan tanpa
penjelasan khusus. Anda dapat menganggap bahwa yang dimaksudkan adalah bilangan
real. Bilangan-bilangan real merupakan karakter utama dalam kalkulus.
EMPAT OPERASI ARITMETIKA Diberikan
dua bilangan real x dan y, kita dapat menambahkan atau mengalikan keduanya
untuk memperoleh dua bilangan real baru x + y dan x . y (cukup ditulis sebagai
xy). Penambahan dan perkalian mempunyai sifat-sifat yang telah dikenal berikut.
Kita menyebutnya sifat-sifat medan.
SIFAT-SIFAT MEDAN
1. Hukum Komutatif. x + y = y + x dan xy = yx
2. Hukum Asosiatif. x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z
3. Hukum Distribusi. x(y +z) = xy +xz
4. Elemen-elemen Identitas. Terdapat dua bilangan real yang berlainan 0
dan 1 yang memenuhi x + 0 = x dan x . 1 =
x untuk setiap bilangan real x.
5. Balikan (Invers). Setiap bilangan x mempunyai balikan
penambahan (disebut juga negatif), -x, yang memenuhi x + (-x) = 0. Juga,
setiap bilangan x kecuali 0 mempunyai balikan perkalian (disebut juga
kebalikan), x-1, yang memenuhi x . x-1 = 1.
Pengurangan
dan pembagian didefinisikan dengan
x – y = x + (-y)
dan
x/y = x . y-1
Selama
y ≠ 0. Pembagian dengan 0 tidak terdefinisikan.
Dari fakta-fakta dasar ini, banyak
fakta lain yang menyusul. Hampir semua aljabar pada akhirnya berpatokan pada
lima sifat medan, definisi pembagian dan pengurangan tersebut, dan sedikit
logika.
SEDIKIT LOGIKA Hasil penting dalam matematika disebut
teorema, dan Anda akan menemukan
banyak teorema dalam buku ini. Teorema-teorema yang sangat penting muncul dalam
naskah ini dengan label Teorema dan
biasanya diberi nama (misalnya, Teorema Phytagoras). Teorema lainnya muncul
dalam soal-soal yang diperkenalkan dalam kalimat tujukkan/perlihatkan bahwa atau
buktikan bahwa. Berlawanan dengan aksioma atau definisi yang kebenarannya
telah dianggap pasti, teorema memerlukan pembuktian.
Teorema dapat dinyatakan dalam
bentuk “Jika P maka Q” atau dapat dinyatakan ulang sehingga mempunyai bentuk
ini. Seringkali ini disingkat dengan P ⇒ Q.
Kita menamakan P sebagai hipotesis dan Q sebagai kesimpulan teorema tersebut. Pembuktian
terdiri dari peragaan bahwa P perlu mengimplikasikan Q.
Para mahasiswa tingkat pertama (dan
beberapa mahasiswa yang lebih tinggi) mungkin mengalami kesulitan membedakan P ⇒
Q dengan kebalikannya Q ⇒
P. Jelas, kedua
pernyataan ini tidak setara. Contohnya: “Jika Adi adalah orang Maluku, maka ia
adalah orang Indonesia.” Merupakan pernyataan yang benar, akan tetapi
kebalikannya: “Jika Adi adalah orang Indonesia, maka ia orang Maluku.” jelas
pernyataan yang salah.
Ingkaran
(negasi) pernyataan P ditulis sebagai ~P. Misalnya, jika P adalah
pernyataan “Hari ini sedang hujan,” maka ~P berarti “Hari ini tidak sedang
hujan.” Pernyataan ~Q ⇒ ~P
disebut kontrapositif dari pernyataan
P ⇒ Q dan
setara dengan P ⇒
Q. “Setara dengan” berarti bahwa P ⇒
Q dan ~Q ⇒ ~P
keduanya benar atau keduannya salah. Sebagai contoh: “Jika Adi orang Maluku,
maka ia orang Indonesia,” juga berarti “Jika Adi adalah bukan orang Maluku,
maka Adi bukan orang Indonesia.”
Karena sebuah pernyataan dan
kontrapositifnya setara, kita dapat membuktikan sebuah teorema dalam bentuk
“jika P maka Q” dengan membuktikan kontrapositifnya “jika ~Q maka ~P.” Jadi
untuk membuktikan P ⇒
Q, kita dapat mengandaikan ~Q dan mencoba menyimpulkan ~P. Berikut contoh
sederhana.
CONTOH 1 Jika n2 adalah genap, maka
n adalah genap.
Bukti kontrapositif dari kalimat ini
adalah, “Jika n tdak genap maka n2 tidak genap,” yang setara dengan
“Jika n ganjil, maka n2 juga ganjil.” Kita akan membuktikan
kontrapositif. Jika n ganjil, maka terdapat sebuah bilangan bulat k sedemikian rupa sehingga n = 2k + 1. Maka,
n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k + 2) + 1
Oleh
karena itu, n2 sama dengan satu lebihnya dari dua kali sebuah
bilangan bulat. Maka n2 adalah ganjil.
Hukum
Excluded Middle berbunyi “Salah satu di antara R atau ~R, tetapi bukan
keduanya.” Suatu bukti yang dimulai dengan menganggap bahwa kesimpulan sebuah
teorema adalah salah dan dilanjutkan untuk memperlihatkan bahwa anggapan ini
menuju pada sebuah kontradiksi disebut pembuktian
dengan kontradiksi.
Terima kasih sudah berkunjung. Semoga bermanfaat!
